Albert は正整数 k を選び,さらに二つの実数 a, b を区間 [0,1] の一様分布からランダムに選ぶ。さらに和 (ka+1)^2+(kb+1)^2 の平方根を計算し,最も近い整数に丸める。結果が k に等しければ,彼は k 点を得る。それ以外は 0 点である。
k=6, a=0.2, b=0.85 ならば
42.05 の平方根は 6.484... で, 最も近い整数は 6 になる。この値は k=6 に等しいため, 彼は 6 点を得る。
k=1, k=2, ..., k=10 で 10 回プレイした場合,小数第6位で四捨五入した合計点の期待値は 10.20914 である。
k=1, k=2, k=3, ..., k=10^5 で 10^5 回プレイした場合,小数第6位で四捨五入した合計点の期待値はいくらか?
確率=面積比
k 点を得る条件は
とおきます。
点 (x, y) は領域 に一様に分布するので,k 点を得る確率は
と
の面積比です。
の面積は k^2 です。
の面積を S(k) とすると,得点の期待値 E は次のように表されます。
数値積分で S(k) を求めて,その和をとりました。1分半かかりました。
数値積分→普通の積分
Mathematica は単に Integrate するだけで S(k) の具体形を求められます。これを使うほうが速く,無事1分におさまりました。