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Project Eulerに挑戦してみよう

Project Euler 285 / ピタゴラス・オッズ

201-300

Albert は正整数 k を選び，さらに二つの実数 a, b を区間 [0,1] の一様分布からランダムに選ぶ。さらに和 (ka+1)^2+(kb+1)^2 の平方根を計算し,最も近い整数に丸める。結果が k に等しければ，彼は k 点を得る。それ以外は 0 点である。
k=6, a=0.2, b=0.85 ならば
$(ka+1)^2+(kb+1)^2=42.05$
42.05 の平方根は 6.484... で, 最も近い整数は 6 になる。この値は k=6 に等しいため, 彼は 6 点を得る。
k=1, k=2, ..., k=10 で 10 回プレイした場合，小数第6位で四捨五入した合計点の期待値は 10.20914 である。
k=1, k=2, k=3, ..., k=10^5 で 10^5 回プレイした場合，小数第6位で四捨五入した合計点の期待値はいくらか？
Problem 285 - Project Euler

確率＝面積比

k 点を得る条件は

$\left(k-\dfrac{1}{2}\right)^2 \leqq (ka+1)^2+(kb+1)^2 <\left(k+\dfrac{1}{2}\right)^2$

$x=ka+1,\, y=kb+1$ とおきます。

$D_1:\left(k-\dfrac{1}{2}\right)^2 \leqq x^2+y^2 <\left(k+\dfrac{1}{2}\right)^2$

点 (x, y) は領域 $D_2:[1,\, k+1]\times [1,\, k+1]$ に一様に分布するので，k 点を得る確率は $D_2$ と $D_1 \cap D_2$ の面積比です。

$D_2$ の面積は k^2 です。 $D_1 \cap D_2$ の面積を S(k) とすると，得点の期待値 E は次のように表されます。

$E=\sum \dfrac{S(k)}{k^2}\cdot k=\sum \dfrac{S(k)}{k}$

数値積分で S(k) を求めて，その和をとりました。1分半かかりました。

数値積分→普通の積分

Mathematica は単に Integrate するだけで S(k) の具体形を求められます。これを使うほうが速く，無事1分におさまりました。