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Project Eulerに挑戦してみよう

Project Euler 493 / 虹の下で

壺の中に虹の7色と同じ色のボールがそれぞれ10個ずつ計70個入っている。ランダムに20個のボールを取り出したときの異なる色の数の期待値はいくつになるか? a.bcdefghij の形式で小数点以下9桁まで答えよ。

Problem 493 - Project Euler


これは手計算で解けます。期待値の問題の解法は大きく分けて3つあり,この問題では加法定理が有効です。

  1. 定義にしたがって計算
  2. 期待値の加法定理
  3. 期待値の漸化式

各色に対応する確率変数X1〜X7を定義し,20個取り出したとき色iが出ればXi=1,出なければXi=0とします。

異なる色の数は X=X1+X2+...+X7 で与えられます。期待値は次の通り。

E(X)=E(X1+X2+...+X7)
=E(X1)+E(X2)+...+E(X7) (期待値の加法定理)
=7E(X1) (対称性)

E(X)はたとえば赤が少なくとも1回出る確率の7倍です。余事象を使って計算します。

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このまま計算することもできますが,一応 Mathematica を使います。